Отвечу в том порядке, в котором Вы задаете вопросы.
1. Нееврей может посетить друзей или соседей во время праздничной или траурной церемонии. Лучше всего, придти и поздравить (если речь идет о свадьбе и других торжествах) или выразить соболезнование (во время похорон или в период траура), но принимать участие в самой церемонии (оставаться более 20-30-ти минут) не следует. Точно так же, кстати говоря, и еврею следует ограничиться поздравлением (или - соболезнованием, в соответствующих случаях), но оставаться и принимать участие в нееврейской праздничной или траурной церемонии он не должен.
2. Одевать кипу не нужно. Обычаи некоторых общин предполагают, что в помещении синагоги и неевреи должны покрывать голову. В любом случае можно использовать какой-либо головной убор.
3. На территории еврейского кладбища нееврею можно находиться. Но не стоит приходить туда лишь из праздного любопытство (к евреям это тоже относится).
4. Посещать синагогу можно даже и без какого либо повода - достаточно и того, что Вы испытываете такую духовную потребность (см. на сайте ответ «Я - православный, могу ли пойти в синагогу?»). И нет никаких ограничений на то, чтобы выполнять в ней ремонтные и какие-либо другие работы.
Войдя в синагогу вести себя следует скромно и спокойно. Нельзя вносить в помещение синагоги некошерные продукты. В случае, если возникают какие-то сомнения, нужно, не стесняясь, задать необходимые вопросы раввину или администратору синагоги.