Фамилия Вебер, неважно, с одной буквой «б» или — с двумя, вполне может быть немецкой. Но может — и еврейской. См. на сайте ответ «Еврейские и немецкие фамилии»,  — с ответом, обозначенным в нем линком.

Но даже если предположить, что она имеет еврейское происхождение, нам это еще ни о чем не говорит, ибо в нашем народе еврейство по фамилии — не устанавливается. См. на сайте, к примеру, ответ «Еврейство определить по фамилии?», «Узнал, что у меня еврейская фамилия»  и «Моя фамилия Яковлев. Я — еврей»  — с ответами, на которые в них даны ссылки.

Так что, если человек носит еврейскую фамилию, и хочет узнать, имеет ли он отношение к еврейскому народу, это может стать поводом для исследования собственной родословной. Не более того.

Со вторым Вашем аргументом: «почему-то Ваша бабушка и мама, — как Вы пишете, — не брали фамилии мужей», а мама просила Вашу сестру поступить так же — нет, насколько я понял, никакой ясности.

Возможно, это связано с какой-то семейной историей, а может — они сохраняли фамилию из уважения к еврейскому народу.

Из всего этого следует, что существует некоторая вероятность, что Ваш прадедушка был евреем. И если это так, есть и вероятность того, что женился он на еврейке (подчеркну — лишь вероятность, потому что в его времена «смешанные браки», хоть и были редкостью, но такое все же случалось).

Если Ваша прабабушка, жена прадеда, была еврейкой, то и ее дети (в том числе, Ваша бабушка, мать Вашей мамы), поскольку еврейство определяется по материнской линии — тоже были евреями. См. на сайте, к примеру, ответ «Кто определил: отец — еврей, сын — нееврей».

Имея в виду, что вся представленная здесь логическая цепочка построена лишь на ничем не подтвержденных предположениях, можно заключить, что некая вероятность того, что Вы — еврей, все-таки существует. Но ничего более определенного в Вашей ситуации сказать — невозможно.

Если у Вас есть интерес к нашему народу, к его истории, мировоззрению и традициям — читайте материалы нашего сайта, в которых по всем этим темам дается достаточно исчерпывающая информация.