Настоятельно рекомендую не придумывать «новые» имена. В том числе, и такие, которые представляют собой соединение двух имен.

Подходящее имя можно найти в Танахе — среди имен упоминающихся в нем праведных евреев. Или — взять имя одного из наших великих Учителей.

Имя Вашего сына, Михаэль-Хаим, которое Ваша дочь собирается дать своему ребенку, наводит на размышления.

Если это двойное имя действительно было дано ему при рождении (или в процессе приобщения к традиции нашего народа), назвать внука этим же именем можно. Но если его назвали Михаэль, а имя Хаим добавили в результате серьезной болезни или ранения, внука лучше назвать Михаэлем. Потому что добавление в случае болезни имени Хаим, или, например, Рефаэль и т.п. имеет определенную цель — снискать, скажем так, дополнительное снисхождение Неба во время молитвы за выздоровление человека, когда его называют по имени.

Но в памяти его имя остается изначальным, без добавления.

Исключением может быть лишь ситуация, когда человек долгое время (годы) жил под двойным именем и окружающие привыкли так его называть. Тогда оно, его двойное имя, действительно остается и в памяти о нем.